Fourier mit Mathematica, Grundversion

A    Einführung

?*Fourier*

"Fourier[list] finds the discrete Fourier transform of a list of complex numbers." Mehr…

"FourierCosTransform[expr, t, ω] gives the symbolic Fourier cosine transform of expr. FourierCosTransform[expr, {t1, t2, ... }, {ω1, ω2, ... }] gives the multidimensional Fourier cosine transform of expr." Mehr…

"FourierParameters is an option to Fourier transform functions that specifies the convention to follow for the overall constant and the frequency constant. For FourierParameters -> {a, b}, FourierTransform[expr, t, w] is equivalent to Sqrt[Abs[b]/((2 Pi)^(1-a))] Integrate[expr Exp[I b w t], {t,-Infinity,Infinity}]."

"FourierSinTransform[expr, t, ω] gives the symbolic Fourier sine transform of expr. FourierSinTransform[expr, {t1, t2, ... }, {ω1, ω2, ... }] gives the multidimensional Fourier sine transform of expr." Mehr…

"FourierTransform[expr, t, ω] gives the symbolic Fourier transform of expr. FourierTransform[expr, {t1, t2, ... }, {ω1, ω2, ... }] gives the multidimensional Fourier transform of expr." Mehr…

"InverseFourier[list] finds the discrete inverse Fourier transform of a list of complex numbers." Mehr…

"InverseFourierCosTransform[expr, ω, t] gives the symbolic inverse Fourier cosine transform of expr. InverseFourierCosTransform[expr, {ω1, ω2, ... }, {t1, t2, ... }] gives the multidimensional inverse Fourier cosine transform of expr." Mehr…

"InverseFourierSinTransform[expr, ω, t] gives the symbolic inverse Fourier sine transform of expr. InverseFourierSinTransform[expr, {ω1, ω2, ... }, {t1, t2, ... }] gives the multidimensional inverse Fourier sine transform of expr." Mehr…

"InverseFourierTransform[expr, ω, t] gives the symbolic inverse Fourier transform of expr. InverseFourierTransform[expr, {ω1, ω2, ... }, {t1, t2, ... }] gives the multidimensional inverse Fourier transform of expr." Mehr…

<< Calculus`FourierTransform`

?Calculus`FourierTransform`N*

Remove["Global`*"]

FourierTransform[y[x], x, ω]

FourierTransform[y'[x], x, ω]

FourierTransform[y''[x], x, ω]

FourierTransform[y'''[x], x, ω]

FourierTransform[y''''[x], x, ω]

FourierTransform[y[x] + D[y[x], x], x, ω] // Simplify

fourierTransform[y[x], x, ω] := 
      FourierTransform[y[x], x, ω]

fourierTransform[y1_ + y2__, x, ω] := 
      FourierTransform[y1, x, ω] + 
        FourierTransform[y2, x, ω]

fourierTransform[y1_ + y2_ + y3_, x, ω] := 
      FourierTransform[y1, x, ω] + 
        FourierTransform[y2, x, ω]

fourierTransform[y[x] + D[y[x], x], x, ω] // Factor

fourierTransform[y[x] + 2 D[y[x], x] +  D[y[x], {x, 2}], 
        x, ω] // Factor

?UnitStep

f[t_] := 
        UnitStep[t + 1] - UnitStep[t - 1];
Plot[f[t], {t, -2, 2}];

FourierTransform[f[x], x, ω] // Factor

B    Lösungen

1

FourierTransform[y'[x], x, ω]

FourierTransform[y''[x], x, ω]

FourierTransform[y'''[x], x, ω]

FourierTransform[y''''[x], x, ω]

2

a

Sei  c = 1

f1[t_] := 
        UnitStep[t + 1] - UnitStep[t - 1];
Plot[f1[t], {t, -2, 2}];

b

f2[t_] := f1[2 t/Pi];
Plot[f2[t], {t, -3, 3}];

c

f3[t_] := f2[t] Cos[t];
Plot[f3[t], {t, -3, 3}];

Plot[f3[t], {t, -6, 6}];

3

Sei  c = 1

f1[t_] := 
        UnitStep[t + 1] - UnitStep[t - 1];
Plot[f1[t], {t, -2, 2}];

a

fourierTransform[1*y'[x] + 2*y[x], x, ω]

links = (-I ω FourierTransform[y[x], 
                  x, ω] + 2 FourierTransform[ y[x], x, ω]  // 
            Factor)  /. 
        FourierTransform[ y[x], x, ω] -> Y[ω]

rechts = FourierTransform[f1[x], x, ω]

solve1 = 
      Solve[links == rechts, {Y[ω]}] // Flatten

Y1[ω] := Y[ω] /. solve1

I1[x_] := 
        InverseFourierTransform[Y1[ω], ω, x] // 
          Simplify;
I1[x]

Plot[I1[x], {x, -1, 5}];

b

fourierTransform[1*y'[x] + 1/2*y[x], x, ω]

links = (-I ω FourierTransform[y[x], 
                  x, ω] + 
              1/2 FourierTransform[ y[x], x, ω]  // Factor)  /. 
        FourierTransform[ y[x], x, ω] -> Y[ω]

rechts = FourierTransform[f1[x]/2, x, ω]

solve2 = 
      Solve[links == rechts, {Y[ω]}] // Flatten

Y2[ω] := Y[ω] /. solve2

I2[x_] := 
        InverseFourierTransform[Y2[ω], ω, x] // 
          Simplify;
I2[x]

Plot[I2[x], {x, -1, 7}];

c

fourierTransform[1*y'[x] - 1*y[x], x, ω]

links = (-I ω FourierTransform[y[x], 
                  x, ω] -   FourierTransform[ y[x], x, ω]  // 
            Factor)  /. 
        FourierTransform[ y[x], x, ω] -> Y[ω]

rechts = FourierTransform[f1[x], x, ω]

solve3 = 
      Solve[links == rechts, {Y[ω]}] // Flatten

Y3[ω] := Y[ω] /. solve3

I3[x_] := 
        InverseFourierTransform[Y3[ω], ω, x] // 
          Simplify;
I3[x]

Plot[I3[x], {x, -1, 7}];

Plot[I3[x], {x, 1, 7}];

d

FourierTransform[y''[x], x, ω] + 
      2 FourierTransform[y'[x], x, ω] + 
      FourierTransform[y[x], x, ω]

(FourierTransform[y''[x], x, ω] + 
          2 FourierTransform[y'[x], x, ω] + 
          FourierTransform[y[x], x, ω]) // Factor

links = (-(((I + ω))^2) FourierTransform[
              y[x], x, ω])  /. 
        FourierTransform[ y[x], x, ω] -> Y[ω]

rechts = FourierTransform[f1[x], x, ω]

solve4 = 
      Solve[links == rechts, {Y[ω]}] // Flatten

Y4[ω] := Y[ω] /. solve4

I4[x_] := 
        InverseFourierTransform[Y4[ω], ω, x] // 
          Simplify;
I4[x]

Plot[I4[x], {x, -1, 7}];