Lösungen

1

Remove["Global`*"]

EVNorm[Matrix_]:=Transpose[Table[N[Transpose[Matrix][[k]]/Norm[Transpose[Matrix][[k]]]],{k,1,Length[Transpose[Matrix]]}]]

X={{1,2,1},{1,2,2},{1,1,3}};
Dl={{1,0,0},{0,-1,0},{0,0,-1}};
M=X.Dl.Inverse[X];
MatrixForm[M]

v1={4,-3,5}; v2={-3,4,5};

a

Eigenvalues[M]

b Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[M]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[M]//Transpose]//MatrixForm

c

Inverse[M]//MatrixForm

M==Inverse[M]

Eigenvalues[Inverse[M]]

d Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose]//MatrixForm

e

Eigenvalues[Transpose[M]]

f

Eigenvectors[Transpose[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Transpose[M]]//Transpose]//MatrixForm

g

w=Cross[v1,v2]

InhPar=Norm[Cross[v1,v2]]

N[%]

h

InhMPar=Norm[Cross[M.v1,M.v2]]

N[%]

InhMPar/InhPar

N[%]

Det[M]

Kein direkter Einfluss sichtbar.

2

a

X={v1,v2,w}//Transpose; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0},{0,-2,0},{0,0,3}};  Dλ//MatrixForm

A=X.Dλ.Inverse[X];  A//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

357 A//MatrixForm

b

OQStrich=A.(2v1-3v2)

c

OQStrichStrich=A.OQStrich

3

Remove["Global`*"]

a

a={1,-1,2}; b={-2,1,4}; w=Cross[a,b]

X=Transpose[{a,b,w}]; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,-1}}; Dλ//MatrixForm

B=X.Dλ.Inverse[X];  B//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

101  B//MatrixForm

b

B.{5,4,2}

N[%]

c

Dλ^100

Bhoch100=X.(Dλ^100).Inverse[X]; Bhoch100//MatrixForm

Bhoch100==IdentityMatrix[3]

4

((((U^(-1)) W))^(-1))  ((U^(-1)) W)  X  (W^T) - E = ((((((((((U^(-1))))^T)  (W^T)))^(-1))))^T)   ==> ((((U^(-1)) W))^(-1))  ((U^(-1)) W) = E  oder
==>     (W^(-1)) U   (U^(-1)) W  X  (W^T) - E = (((((((((W  (U^(-1))))^T)))^(-1))))^T)   = (((((((((W  (U^(-1))))^T)))^T)))^(-1))  = (((W  (U^(-1))))^(-1)) = U  (W^(-1))
==>                             X  (W^T) = U  (W^(-1)) + E
==>                             X       = U  (W^(-1)) ((((W^T)))^(-1)) +((((W^T)))^(-1)) = U   ((((W^T) W))^(-1)) +((((W^T)))^(-1))

5

Remove["Global`*"]

a

OP1={5,0,1};  OP2={4,1,-1};  OP3={7/2,2,10};  
OP4={2,6,1};  OP5={-1,5,8};  OP6={-2,12,0};

G1={OP1,OP2,OP3}//Transpose;
G2={OP4,OP5,OP6}//Transpose;
Det[G1]

Det[G2]

G.G1==G2

G=G2.Inverse[G1];  G//MatrixForm

129 G//MatrixForm

G//N//MatrixForm

b

Dreh[ϕ_]:={{1,0,0},{0,Cos[ϕ],-Sin[ϕ]},{0,Sin[ϕ],Cos[ϕ]}}; Dreh[ϕ]//MatrixForm

Dreh[12 Degree]//N//MatrixForm

c

OP7=Dreh[12 Degree].OP1

Dreh[12 Degree].OP1//N

d

G.OP7//MatrixForm

G.OP7//N//MatrixForm

6

Remove["Global`*"]

Hmatrix={{1,-2,3},{1,4,-3},{2,2,4}}; Det[Hmatrix]

Eigenvalues[Hmatrix]

Inverse[Hmatrix]

N[%]

Smatrix=Hmatrix+Transpose[Hmatrix]

Smatrix//MatrixForm

Det[Smatrix]

Eigenvalues[Smatrix]//Simplify

Eigenvalues[Smatrix]//N

Det[Smatrix-x IdentityMatrix[3]]

Solve[Det[Smatrix-x IdentityMatrix[3]]==0,{x}]//Simplify

N[%]

N[%]//Chop

a1={1,1,1};
Hmatrix.a1

Transpose[Hmatrix].a1

Smatrix.a1

(Hmatrix+Inverse[Hmatrix]).a1

N[%]

7

Remove["Global`*"]

a={2,1,3};  OQ={-1,4,2};  ϕ=Pi/8;

Matrixkonstruktion : Lokale Basis

(* Normiert einen Vektor *)
NVec[a_]:=a/Norm[a];  
(* Quadriert Komponenten eines Vektors *)
QVec[a_]:=Table[a[[k]]^2,{k,1,Length[a]}];
(* Numeriert Komponenten eines Vektors *)
QVecNr[a_]:=Table[{k,a[[k]]^2},{k,1,Length[a]}];
(* Sucht die Nummer einer absolut maximal grossen Komponente *)
NrMaxQVec[a_]:=Max[Table[If[a[[k]]^2==Max[QVec[a]],k,0],{k,1,Length[a]}]];
(* Sucht die Nummer einer absolut minimal grossen Komponente *)
NrMinQVec[a_]:=Min[Table[If[a[[k]]^2==Min[QVec[a]],k,Length[a]+1],{k,1,Length[a]}]];
b[a_,x_]:=Table[ If[k==NrMaxQVec[a],1, If[k==NrMinQVec[a],0,x ] ]
   ,{k,1,Length[a]}];
solv=Solve[b[a,x].a==0,{x}]//Flatten;
b[a_]:=b[a,x]/.solv
e1={1,0,0};e2={0,1,0};e3={0,0,1}; 
 If[Element[NVec[a],Union[{e1,e2,e3},-{e1,e2,e3}]],b[a_]:=Cross[e1+e2+e3,NVec[a]],b[a]=b[a]];
basis[a_]:={NVec[a],NVec[b[a]],Cross[NVec[a],NVec[b[a]]]};
TrBasis[a_]:=basis[a]//Transpose;
aVec1=NVec[a]; aVec2=NVec[b[a]];
aVec3=Cross[NVec[a],NVec[b[a]]];

Kontrolle

Cross[a,basis[a][[1]]]

basis[a][[1]].basis[a][[2]]

basis[a][[1]].basis[a][[3]]

basis[a][[2]].basis[a][[3]]

basis[a][[1]]//Norm

basis[a][[2]]//Norm

basis[a][[3]]//Norm

TrBasis[a].e1==aVec1

TrBasis[a].e2==aVec2

TrBasis[a].e3==aVec3

Matrixzusammensetzung

Print[Inverse[TrBasis[a]]//MatrixForm];
mDrehung[ϕ_]:={{1,0,0},{0,Cos[ϕ],-Sin[ϕ]},{0,Sin[ϕ],Cos[ϕ]}};
mDrehung[Pi/8];
Print[mDrehung[Pi/8]//MatrixForm];
matrix[ϕ_]:=TrBasis[a].mDrehung[ϕ].Inverse[TrBasis[a]];
Print[matrix[Pi/8]//MatrixForm];
Print[matrix[Pi/8]//N//MatrixForm];

Drehung

OQStrich= matrix[Pi/8].OQ

OQStrich//N

p1=ParametricPlot3D[{matrix[ϕ].OQ,ϕ aVec1},{ϕ,0,2Pi}]

p2=Graphics3D[{Sphere[OQ,0.2],Sphere[OQStrich,0.2]}];
Show[p1,p2]