Lösungen

1

a

r=10; ϕ= 2 Pi/8; ϕ1=ϕ/2;  a= 2 r Sin[ϕ1]; a1=a/2; OP1={r,a1,a1};  OP2={a1,r,a1};  OP3={a1,a1,r}; 

{ OP1,  OP2, OP3 }

{ OP1,  OP2, OP3 }//N

b

InhaltDreieck=Norm[Cross[OP2-OP1,OP3-OP1]]/2

%//N

c

OS=Norm[(OP1+OP2+OP3)/3]

%//N

OS==r

d

InhaltQuadrat=a^2

%//N

Inhalt = 8 InhaltDreieck + 18  InhaltQuadrat

%//N

Verhaeltlnis = Inhalt/(4 r^2 Pi)

%//N

2

Remove["Global`*"]

OP1={2,3,5}; OP2={1,2,6};  OQ1={-2,-3,-5}; OQ2[z_]:={-3,-1,z};

g[t]:=OP1+t(OP2-OP1);  q[u_,z_]:=OQ1+u(OQ2[z]-OQ1);

a

OQ2f=OQ2[-2];
KuerzAbst[z_]:=Det[{(OP2-OP1),(OQ2[z]-OQ1),OQ1-OP1}]/Norm[Cross[(OP2-OP1),(OQ2[z]-OQ1)]];
KuerzAbst[-2]

%//N

b

KuerzAbst[z]==10

Solve[KuerzAbst[z]==10]//Flatten

%//N

c

2 Lösungen.

3

v1={-4,0,-3,5}; v2={1,2,-4,0} ;  v3={-3,4,0,2}; v4={-1,2,3,1}; X={v1,v2,v3,v4}//Transpose; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,-2,0},{0,0,0,2}};  Dλ//MatrixForm

a

A=X.Dλ.Inverse[X];  A//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

74 A//MatrixForm

b

OQStrich=A.(v1+v2+v3+v4)

c

OQStrichStrich=(A+Transpose[A]).OQStrich

N[%]

4

Remove["Global`*"]

EVNorm[Matrix_]:=Transpose[Table[N[Transpose[Matrix][[k]]/Norm[Transpose[Matrix][[k]]]],{k,1,Length[Transpose[Matrix]]}]]

X={{1,2,0,1},{0,1,-2,1},{1,1,3,0},{-2,0,4,1}};
Dl={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}};
M=X.Dl.Inverse[X];
MatrixForm[M]

(* MatrixForm[M]//TeXForm *)

h1=Transpose[X][[1]]; h2=Transpose[X][[2]]; h3=Transpose[X][[3]]; h4=Transpose[X][[4]];

{h1,h2,h3,h4}

X//MatrixForm

Det[X]

v1={-4,0,-3,5}; v2={-3,4,0,2};  v3={1,2,-4,0}; v4={-1,2,3,1}; Vmatr={v1,v2,v3,v4};

Det[Vmatr]

a

Eigenvalues[M]

b Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[M]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[M]//Transpose]//MatrixForm

EVM=Eigenvectors[M]; ev1=EVM[[1]];  ev2=EVM[[2]];  ev3=EVM[[3]];  ev4=EVM[[4]]; 
{ev1,ev2,ev3,ev4}

EAM=Eigenvalues[M]

M.ev1==EAM[[1]] ev1

M.ev2==EAM[[2]] ev2

M.ev3==EAM[[3]] ev3

M.ev3==EAM[[3]] ev3

M.ev4==EAM[[4]] ev4

ev1.ev2

ev1.ev3

ev1.ev4

ev2.ev3

ev2.ev4

ev3.ev4

Nie senkrecht.

Solve[{(α ev1+ β ev2) ( γ ev3 + δ ev4)== 0, (α β)^2==1},{α,β,γ,δ}]

Das System hat ausschliesslich nur Lösungen, bei denen der eine Faktor (und damit γ und δ) null ist, was keinen Eigenvektor ungleich null bedeutet.

==>  Nie senkrecht.

c

Inverse[M]//MatrixForm

M==Inverse[M]

Eigenvalues[Inverse[M]]

d Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Inverse[M]]]//Transpose//MatrixForm

Eigenvectors[Inverse[M]]==Eigenvectors[M]

Die Eigenvektoren von M sind identisch mit denen von Inverse[M].

e

TrM=Transpose[M]

Eigenvalues[TrM]

f

Eigenvectors[TrM]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[TrM]//Transpose]//MatrixForm

Eigenvectors[TrM]==Eigenvectors[M]

EVT=Eigenvectors[TrM]; eT1=EVT[[1]];  eT2=EVT[[2]];  eT3=EVT[[3]];  eT4=EVT[[4]]; 
{ev1,ev2,ev3,ev4}

EATrM=Eigenvalues[TrM]

Solve[{(α ev1+ β ev2) ( γ eT1 + δ eT2)== 0, (α β)^2==1},{α,β,γ,δ}]

Das System hat ausschliesslich nur Lösungen, bei denen der eine Faktor (und damit γ und δ) null ist, was keinen Eigenvektor ungleich null bedeutet.

Solve[{(α ev1+ β ev2) ( γ eT3 + δ eT4)== 0, (α β)^2==1},{α,β,γ,δ}]

Das System hat ausschliesslich nur Lösungen, bei denen der eine Faktor (und damit γ und δ) null ist, was keinen Eigenvektor ungleich null bedeutet.

Solve[{(α ev3+ β ev4) ( γ eT1 + δ eT2)== 0, (α β)^2==1},{α,β,γ,δ}]

Das System hat ausschliesslich nur Lösungen, bei denen der eine Faktor (und damit γ und δ) null ist, was keinen Eigenvektor ungleich null bedeutet.

Solve[{(α ev3+ β ev4) ( γ eT3 + δ eT4)== 0, (α β)^2==1},{α,β,γ,δ}]

Das System hat ausschliesslich nur Lösungen, bei denen der eine Faktor (und damit γ und δ) null ist, was keinen Eigenvektor ungleich null bedeutet.

==>  Nie senkrecht.

g

W=Transpose[Vmatr]; W//MatrixForm

VolW=Det[W]

VolW=Det[M.W]

h

Det[M]

VolMW=Det[M.W]

VolMW/VolW

5

Remove["Global`*"]

a={-2,1,2};  OQ={-1,0,4};  ϕ=Pi/6;

a Drehung

mDrehung[ϕ_]:={{1,0,0},{0,Cos[ϕ],-Sin[ϕ]},{0,Sin[ϕ],Cos[ϕ]}};
mDrehung[Pi/6]//MatrixForm

%//N//MatrixForm

Matrixkonstruktion

Lokale Basis

(* Normiert einen Vektor *)
NVec[a_]:=a/Norm[a];  
(* Quadriert Komponenten eines Vektors *)
QVec[a_]:=Table[a[[k]]^2,{k,1,Length[a]}];
(* Numeriert Komponenten eines Vektors *)
QVecNr[a_]:=Table[{k,a[[k]]^2},{k,1,Length[a]}];
(* Sucht die Nummer einer absolut maximal grossen Komponente *)
NrMaxQVec[a_]:=Max[Table[If[a[[k]]^2==Max[QVec[a]],k,0],{k,1,Length[a]}]];
(* Sucht die Nummer einer absolut minimal grossen Komponente *)
NrMinQVec[a_]:=Min[Table[If[a[[k]]^2==Min[QVec[a]],k,Length[a]+1],{k,1,Length[a]}]];
b[a_,x_]:=Table[ If[k==NrMaxQVec[a],1, If[k==NrMinQVec[a],0,x ] ]
   ,{k,1,Length[a]}];
solv=Solve[b[a,x].a==0,{x}]//Flatten;
b[a_]:=b[a,x]/.solv
e1={1,0,0};e2={0,1,0};e3={0,0,1}; 
 If[Element[NVec[a],Union[{e1,e2,e3},-{e1,e2,e3}]],b[a_]:=Cross[e1+e2+e3,NVec[a]],b[a]=b[a]];
basis[a_]:={NVec[a],NVec[b[a]],Cross[NVec[a],NVec[b[a]]]};
TrBasis[a_]:=basis[a]//Transpose;
aVec1=NVec[a]; aVec2=NVec[b[a]];
aVec3=Cross[NVec[a],NVec[b[a]]];

Kontrolle

basis[a]

Cross[a,basis[a][[1]]]

basis[a][[1]].basis[a][[2]]

basis[a][[1]].basis[a][[3]]

basis[a][[2]].basis[a][[3]]

basis[a][[1]]//Norm

basis[a][[2]]//Norm

basis[a][[3]]//Norm

TrBasis[a].e1==aVec1

TrBasis[a].e2==aVec2

TrBasis[a].e3==aVec3

Matrixzusammensetzung

Print[Inverse[TrBasis[a]]//MatrixForm];
mDrehung[ϕ_]:={{1,0,0},{0,Cos[ϕ],-Sin[ϕ]},{0,Sin[ϕ],Cos[ϕ]}};
mDrehung[Pi/6];
Print[mDrehung[Pi/6]//MatrixForm];
matrix[ϕ_]:=TrBasis[a].mDrehung[ϕ].Inverse[TrBasis[a]];
Print[matrix[Pi/6]//MatrixForm];
Print[matrix[Pi/6]//N//MatrixForm];

Drehung

OQStrich= matrix[Pi/6].OQ

OQStrich//N

p1=ParametricPlot3D[matrix[ϕ].OQ,{ϕ,0,2Pi}];
p2=ParametricPlot3D[ϕ aVec1,{ϕ,0,2Pi}];
p3=Graphics3D[{Sphere[OQ,0.2],Sphere[OQStrich,0.2]}];
Show[p1,p2,p3]

6

Remove["Global`*"]

a

OP1={0,1,1};  OP2={1,0,-1};  OP3={1,1,1};  
OP4={2,6,1};  OP5={-1,5,8};  OP6={-2,12,0};

G1={OP1,OP2,OP3}//Transpose;
G2={OP4,OP5,OP6}//Transpose;
Det[G1]

Det[G2]

G.G1==G2

G=G2.Inverse[G1];  G//MatrixForm

b

Dreh[ϕ_]:={{Cos[ϕ],-Sin[ϕ],0},{Sin[ϕ],Cos[ϕ],0},{0,0,1}}; Dreh[ϕ]//MatrixForm

Dreh[32 Degree]//MatrixForm

Dreh[32 Degree]//N//MatrixForm

c

OP7=G.Dreh[32Degree].OP1

OP7//N

7

Remove["Global`*"]

a

a=2+3I; b=3-2I;
Solve[a Conjugate[z] ==b,{z}]

b

Arg[I]

c

pt[z_]:=Point[{Re[z],Im[z]}];
Show[Graphics[{Circle[{0,0},1],PointSize[0.03],pt[a],pt[a],pt[Conjugate[a]],pt[1/a], Line[{{Re[a],Im[a]},{0,0},{Re[a],-Im[a]}}]}]]

d

z2=1/a

solv=Solve[(z+b)^4==z2,{z}]

NTab=N[%]

grTab=Table[Point[{Re[z],Im[z]}]/.NTab[[k]],{k,1,Length[NTab]}]

tab=Table[w[k]=z/.solv[[k]],{k,1,Length[solv]}]

Schwerpunkt=Apply[Plus,tab]/4//Simplify

-b==Schwerpunkt

pt[z_]:=Point[{Re[z],Im[z]}];
Show[Graphics[{PointSize[0.03],
Point[{-2.2960945232139687`,1.823485219886391`}],
Point[{-2.8234852198863907`,2.7039054767860318`}],
Point[{-3.1765147801136093`,1.2960945232139682`}],
Point[{-3.7039054767860318`,2.1765147801136093`}],
pt[Schwerpunkt]}]]