S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Beginn Unterricht:
- Einführung, Vorstellung
- Learningmanagement, Organisation, Rahmen,
Kommunikation via Internet
- 1. Koordinaten
- 2.
Stoff
- 3.
Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
- 4.
Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
- 5.
Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement (
Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
- 6.
Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * abrufen * anwenden.
// Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im
Hirn und der Repetition
- 7.
Noch kurz besprechen: Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8.
Noch kurz besprechen: Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Noch kurz besprechen: Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Noch kurz besprechen: Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Noch kurz besprechen: Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Noch kurz besprechen: Zeitplanung
-
|
Downloads, Studium, Literatur,
Übungen
|
Wo 2 |
- Nachtrag:
- 7.
Noch kurz besprechen: Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8. Noch kurz besprechen: Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Noch kurz besprechen: Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Noch kurz besprechen: Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Noch kurz besprechen: Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Noch kurz besprechen: Zeitplanung
- Wozu Mathematik? Link
- Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
- Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine
Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten".
- Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
- Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von
allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist
Zahl.
- Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre
Kulturleistung
- Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
- Praktische Einführung in MATLAB
- Fortsetzung zur Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Beispielhafte Beweise
- Wieso beweisen? (Zahlen,
geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
- Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im
Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
- Modell und Wirklichkeit: Modell in
der Sprache der Mathematik - Realität
- ==> Naturwissenschaft - Mathematik
- Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom
Baum - Galilei, Newton
- "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die
Idee der Gleichbewegung der Atome
- Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter -
u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden -
mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360
Grad contra rad. Wieso 360?
- Diverses
- Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist
ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole
polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von
Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
- Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
- Nochmals praktische Einführung in MATLAB
|
- Montag,
21.09.09 Zimmerverschiebung nach E126 / M003
- Selbststudium: Vollständige Liste siehe unter den Übungen!
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Wo 3 |
- Skalare
- Vektoren
- Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge,
Betrag, Norm in Koordinatensystem
- Addition
- Multiplikation mit Skalar: Streckung
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff
- Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig, Linearkombination
- Selbststudium:
- Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Eigenschaften einer Basis
|
- Selbststudium: Siehe links, was noch aussteht
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Wo 4 |
- Vektoren und Koordinatensysteme
- Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Eigenschaften einer Basis
- Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen,
Spaltenvektoren, Transponierte
- Gleichheit von Vektoren
- Einheitsvektoren
- In Polarkoordinaten
- Rechengesetze in Koordinatensystemen
- Basiswechsel, Länge
- Beispiele
- Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
- Zum persönlichen Nachdenken: Wie halte ich es mit dem Thema
Eigenmotivation und Arbeit? Wie halte ich es mit dem
Gleichgewicht zwischen zuviel und zuwenig?
- Skriptstudium: Sätze der Geometrie
- Skriptstudium: Definitionen
- Skriptstudium: Weitere Gesetze, Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
- Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem
Programm siehe Übungen)
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 5 |
- Basiswechsel
- Beispiel: Zerlegung von Kräften
- Austauschverfahren
- Geometrische Sätze (eine Sammlung) - Beweise ohne Worte
- Skalarprodukt:
- Definitionen
- Gesetze
- Anwendungen
- Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz,
Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
- Selbststudium:
- Skriptstudium, Sätze der Geometrie
- Skriptstudium: Definitionen
- Skriptstudium: Weitere Gesetze beim Skalarprodukt, Anwendungen
- Anwendungen auf lineare Gebilde
- Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
- Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem
Programm siehe Übungen)
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 6 |
- Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Hess'sche Normalform und Distanz zu einem gegebenen Punkt
- Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Ebenen
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Hess'sche Normalform und Distanz zu einem gegebenen Punkt
- Das Flächenprodukt zweier Vektoren in der Ebene
- Hinweis zu Matlab-Übungen und Ergänzungen: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/MatlabEinstiegUeb.pdf
- Selbststudium:
- Flächenprodukt
- Motivation, Definition (behandelt)
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt
- Selbststudium planen:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Beispiele,
Übungen
- Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 7 |
- Flächenprodukt weiter:
- Motivation, Definition (behandelt)
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt: Idee
- Herleitung der Eigenschaften
- Regeln für das Vektorprodukt
- Anwendungen:
- Z.B. Drehmoment in der Physik
- Diverse interessante Formeln
- Herleitung der Koordinatengleichung einer Ebene aus
der Parametergleichung (Anwendungen,
wie z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt
und zwei Richtungsvektoren
)
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln
- Selbststudium:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften
im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beispiele,
Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 8 |
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beispiele,
Übungen
- Geometrie:
- Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)
(Selbststudium)
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
(Selbststudium)
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Thaleskreis, Apolloniuskreis (siehe auch Apollonius
)
- Gleichungen des Zylinders und des Kegels (Rep.)
- Beispiele, Übungen
- Selbststudium:
- Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
- Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der
- Einzelgleichungen
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 9 |
- Spatprodukt
- Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)
- Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der
- Einzelgleichungen
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Selbststudium:
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang (Rang der Matrix)
- Selbststudium: Testvorbereitung
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 10 |
- Gleichungssysteme
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang (Rang der Matrix)
- Test
- Selbststudium:
- Testnachbereitung
- Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 11 |
- Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar, Vektorraumstruktur
- Beispiele
- Matrixprodukt Zeilenvektor mal Spaltenvektor
- Matrixprodukt Matrix mal Vektor
- Matrixprodukt: Einstieg mit Gleichungssystem
- Selbststudium:
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 12 |
- Matrizenrechnung:
- Matrixprodukt und Abbildung
- Berechnung des Matrixprodukts
- Regeln zum Matrixprodukt
- Dimensionsgesetze
- Nicht kommutativ
- Assoziativität (trivial da Abbildungen) (A.B).C=A.(B.C)
- Nullelement
- Einsemement: Einheitsmatrix
- Distributivität
- Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
- Inverse für reguläge Matrizen
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung von Gleichungssystemen)
- Linksinverse = Rechtsinverse
- Beispiele
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
- Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 13 |
- Determinantenberechnung
- Bedeutung der Determinante und Regeln
- Entwicklungssatz
- Anwendung Entwicklungssatz:
- Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
- Weiter:
- Diagonalisierungsverfahren: Determinantenregeln anwenden,
analog Gauss-Algorithmus bei Gleichungssyst.
- Determinante einer Dreiecksmatrix = Produkt der
Diagonalelemente
- Determinantenberechnung durch Transformation auf
Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
- Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der
Determinanten der Inversen
- Was passiert mit einem Spat bei der Weiterabbildung
- Berechnung der Determinanten der Inversen
- Übungen, Aufgaben im Labor
- Selbststudium:
- Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren): A-' ungef., wann
konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand (zum Lösen von Gleichungen
und der Berechnung der Inversen)
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem
Skalar
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Erweiterung von R zu C, komplexe Ebene
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren, geometrische
Addition von komplexen Zahlen
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Beispiele
- Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von
komplexen Zahlen
- Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
- Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation,
Schreibeweisen von i
- Gesetze der Multiplikation
- ...
- Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
- Multiplikation und Geometrie
- Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten, Argument
und Betrag einer Zahl
- Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
- Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und
Konsequenzen
- Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
- Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==>
Achteck)
- Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
- Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
- Lage der Inversen
- Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
- Distributivgesetz
- Wurzelziehen in C
- Selbststudium:
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Beispiele
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 15 |
- Repetition C mit Operationen, Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Beispiele
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
-
- Der Hauptsatz der Algebra
- Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
- Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
- Konstruktion der Koeffizienten eines Polynoms aus den
Nullstellen
- Selbststudium:
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))n
(Fourier)
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Ausblicke
- Beispiele
- Sichten der bisherigen Modulprüfungen
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 16 |
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Zerlegung, Zerlegungsmethode
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))n
(Fourier)
- Addition von Schwingungen
- Zeigerdiagramme, komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen
- Selbststudium für die Modulprüfung: Studiere die
angegebenen Links und suche selbst weitere Links zur Sache
|
- Selbststudium: Siehe links
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S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Repetitionen:
- Beispiele zu
- Semestereinführung, Repetition
- Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
- Umrechnungen zwischen Parametergleichung und
Koordinatengleichungen
- Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt
- Parametergleichung und Abstandsberechnungen
- Orthogonalzerlegung und Fußpunkt
- Beispiele (Kurzrepetition) zu
- Flächeninhalt und Vektorprodukt
- Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und
Normalenvektor
- Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche
Normalform!)
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche
Normalform!)
- Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen
Punkt
- Volumen mit Spatprodukt
- Beispiele
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3
Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge
dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine
Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0.
Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen
Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen
entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment
"Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie
man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt
wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und
nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie)
alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung
oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem
System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem
Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit
also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun,
wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also
nichts mehr gespannt werden kann?
- Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung: Stichwort "Vorspannung".
- Repetitionen (Selbststudium):
- Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
- Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
- Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
- Die Kegelschnitte
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
- Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung
im Dreieck
- Die Winkel am Apolloniuskreis
- Repetitionen (Selbststudium):
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Beispiele
- Vektorkurven, Tangentialvektor,
Normalenvektor
- Stoff Repetition:
- Matrizen
- Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei
Abbildungen
- Eigenschaften
- Bedeutung der Spaltenvektoren bei der
Abbildung
- Abbildungseigenschaften einer Matrix
-
-
Stoff neu:
- Eigenwertprobleme: Eigenwerte und
Eigenvektoren
- Beispiele
- Beispiel von Matrizen ohne reelle
Eigenwerte
- Eigenvektoren als Basis
- Charakteristisches Polynom
- Berechnungen
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Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
- Beispiele
- Vektorkurven, Tangentialvektor,
Normalenvektor
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Wo 2 |
- Repetition
- Eigenwertprobleme: Eigenwerte und
Eigenvektoren
- Charakteristisches Polynom, Formel
- Berechnungen, Beispiele
- Das Problem des nicht exakten Eigenwerts
und der Berechnung der Eigenvektoren
- Eigenvektoren als Basis und Abbildung von
Vektoren in dieser Basis
- Konstruktion einer Matrix mit gegebenen
Eigenwerten und Eigenvektoren
- Beispiel Geradenspiegelung
|
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Wo 3 |
- Rep. Diagonalisierung einer Matrix
- Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren
- Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp.
Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix)
- Matrixkomposition: Komposition einer Matrix mit gegebenen EW
und EV
- Spiegelung an einer Ebene: Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine
Ebene
- Lineare Unabhängigkeit von EV bei verschiedenen EW: Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren
- Benutzung der EV als Basis
- det(M) = 0 ==> Letzter Koeff im char. Polynom = 0 ==> EW = 0
==> Beispiel mit Eigenwert 0
- Praktische Probleme
- Komposition mit gleichen EW: Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die
Eigenvektoren
- Berechnung der EW / EV mit Rechner
-
- Selbststudium:
- Diverse Beispiele, Übungen
- Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
- Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung
der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
- Beispiele
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Selbststudium: Siehe links
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Wo 4 |
- Diverse Beispiele, Übungen
- Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
- Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung
der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
- Beispiele
- Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren:
- Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens
ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im
charakteristischen Polynom null
- Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche
Eigenvektoren wie die Matrix
- Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die
Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert
(Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren).
- Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und
die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren.
- Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. (EW = 0 dann
Det = 0 u.s.w.)
- Beispiele
- Ähnliche Matrizen
- Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im
charakteristischen Polynom
- Beispiele, Matrixkomposition
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Wo 5 |
- Matrixkomposition aus speziellen geometrischen Problemen heraus
- Das Problem mit dem Eigenwert 0 und zugehörigen Eigenvektoren
ungleich Nullvektoren: Beispiel Projektionsmatrix
- Translation im R2: Matrix existiert nicht
- Hebung in den R3: Projektive Koordinaten (homogene Koordinaten)
==> Matrix ist möglich
- Rechnen mit projektiven Koordinaten: Geometrische
Standardabbildungen
- Mögliche Prüfungsaufgaben: Hinweis
- Selbststudium: Testvorbereitung
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Siehe Übungen
Selbststudium: Testvorbereitung
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Wo 6 |
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Wo 7 |
- Übungen
- Selbststudium:
- Arbeiten mit homogenen Koordinaten
- Was sind Kollineationen?
- Wie kann man mit Hilfe einer Matrix einen Kreis in eine
Ellipse transformieren?
- Wie kann man das Gaußverfahren im die Matrizensprache
übersetzen?
- Nachbereitung Prüfung
- Kommentar zur Prüfung ==> "Hart war's, doch wurde
praktisch von allen die Gefahrenzone verpasst!"
|
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Wo 8 |
- Test zurück
- Zusammenfassung Stoff bisher über Eigenwerte (Eigenwerte und
Eigenvektoren der Inversen und der Transponierten, ....)
- Beispiel einer zusammengesetzten Abbildung in homogenen
Koordinaten (mit Translation, Drehungen, Spiegelung)
- Drehung im Raum um eine Achse mit Hilfe einer Matrix,
Matrixkonstruktion, Beispiel
- Selbststudium: Repetition Kurven
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 9 |
- Repetition
- Detaillierte Berechnung: Drehung eines Punktes um eine Raumachse
um einen gegebenen Winkel
- Übersetzung der Elementarsubstitutionen beim Gauß-Algorithmus in
die Matrixsprache
- Beispiele
- Selbststudium:
- Kollineationen und Aufbau von Abbildungen aus
Kollineationen
- Lineare Abbildungen und Geraden usw.
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
- Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
- Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
- Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene
Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
- Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum)
= Dimension(Kern) + Dimension(Image)
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 10 |
- Kollineationen und Aufbau von Abbildungen aus
Kollineationen
- Lineare Abbildungen und Geraden usw.
- Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
- Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
- Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene
Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
- Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum)
= Dimension(Kern) + Dimension(Image)
- Selbststudium: Anwendungen
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 11 |
- Spezialanlass: Auffahrtswoche
- Selbststudium: Nochmals Anwendungen
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 12 |
- Repetition:
- Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
- Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
- Lineare Mannigfaltigkeit
- Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene
Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
- Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum)
= Dimension(Kern) + Dimension(Image)
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Drehung im Raum um eine Achse
- Beispiele
- Selbststudium: Anwendungen
- Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
- Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
- Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
- Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit
Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
- Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
- Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
- Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen:
Konstruktion der Matrizen
- Rang, Defekt,
- Caley-Hamilton, Nilpotenz
- Kegelschnitte
- Ausgleichsrechnung p. 270
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Rang, Defekt,
- Caley-Hamilton, Nilpotenz
- Beispiele
- Selbststudium: Anwendungen
- Kegelschnitte und quadratische Formen
- Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
- Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
- Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
- Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit
Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
- Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
- Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
- Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen:
Konstruktion der Matrizen
- Ausgleichsrechnung p. 270
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Beispiele: Drehung um eine Achse im Raum und damit verbundene
Probleme
- Übung
- Selbststudium: Anwendungen
- Kegelschnitte und quadratische Formen
- Ausgleichsrechnung p. 270
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
- Ehemalige Tests studieren siehe unter den Übungen
unten
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 15 |
|
|
Wo 16 |
- Testrückgabe, Besprechnung, Abschluss
|
|
|
- Ausschreibung Nachprüfung zur Modulprüfung siehe Ausschreibung
Internetseite der Schule
|
|
Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Vorgesehen:
- Downloads:
- Studium, Literatur:
- Übungen
|
-
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 2 |
|
-
Montag,
21.09.09 Zimmerverschiebung nach E126 / M003
-
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 3 |
|
-
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 4 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
- Zum persönlichen Nachdenken: Wie halte ich es mit dem Thema
Eigenmotivation und Arbeit? Wie halte ich es mit dem
Gleichgewicht zwischen zuviel und zuwenig?
- Skriptstudium: Sätze der Geometrie
- Skriptstudium: Definitionen
- Skriptstudium: Weitere Gesetze, Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
- Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem
Programm siehe Übungen)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 5 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium:
- Skriptstudium, Sätze der Geometrie
- Skriptstudium: Definitionen
- Skriptstudium: Weitere Gesetze beim Skalarprodukt, Anwendungen
- Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte)
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
- Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte)
- Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem
Programm siehe Übungen)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 6 |
- Hinweis zu Matlab-Übungen und Ergänzungen: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/MatlabEinstiegUeb.pdf
- Selbststudium nach eigenem Plan:
- Übungen
- Selbststudium:
- Flächenprodukt
- Motivation, Definition (behandelt)
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt
- Selbststudium planen:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Beispiele,
Übungen
- Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Übungen
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Selbststudium:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften
im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beispiele,
Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Zur Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen (alter Test)
- Selbststudium:
- Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
- Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der
- Einzelgleichungen
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit
Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 9 |
- Selbststudium: Testvorbereitung ==> Studium des bisherigen Stoffs
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen (alter Test)
- Selbststudium:
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang (Rang der Matrix)
- Selbststudium: Testvorbereitung
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Testnachbereitung
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 11 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium:
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Dimensionsgesetze
- Nicht kommutativ
- Assoziativität (trivial da Abbildungen)
- Einsemement: Einheitsmatrix
- Inverse für reguläge Matrizen
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 1 2 |
- Selbststudium:
- Beispiele zu (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv.
Jacobi-Verf., Rechenaufwand
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Selbststudium:
- Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren): A-' ungef., wann
konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand (zum Lösen von Gleichungen
und der Berechnung der Inversen)
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
|
Wo 14 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 15 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Sichten der bisherigen Modulprüfungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 16 |
- Selbststudium für die Modulprüfung: Studiere die angegebenen
Links und suche selbst weitere Links zur Sache
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
Wo 1 |
|
Selbststudium siehe unter Stoff
|
Wo 2 |
|
Selbststudium siehe unter Stoff
|
Wo 3 |
- Übungen
- Selbststudium:
- Diverse Beispiele, Übungen
- Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
- Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung
der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
- Beispiele
|
Selbststudium siehe links
|
Wo 4 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
|
Nochmals Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
Wo 5 |
- Übungen: Vorbereitung Test
- Übungen: Repetition
- Übungen: Neu
|
Selbststudium: Testvorbereitung
|
Wo 6 |
- Übungen:
- Test Nachbereitung
|
Selbststudium: Testnachbereitung
|
Wo 7 |
- Übungen:
- Falls noch notwendig: Test Nachbereitung
|
|
Wo 8 |
- Selbststudium: Repetition Kurven
- Übungen
- Repetition, sofern notwendig
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 9 |
- Selbststudium:
- Kollineationen und Aufbau von Abbildungen aus Kollineationen
- Lineare Abbildungen und Geraden usw.
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen,
minimale Fehlerquadratsumme
- Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
- Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
- Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen,
partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
- Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) =
Dimension(Kern) + Dimension(Image)
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
- Selbststudium: Anwendungen
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 11 |
- Übungen (Vorgriff)
- Selbststudium: Nochmals Anwendungen
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 1 2 |
- Übungen
- http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_14.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_14.pdf
- Selbststudium: Anwendungen
- Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
- Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
- Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
- Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit
Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
- Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
- Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
- Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen:
Konstruktion der Matrizen
- Rang, Defekt,
- Caley-Hamilton, Nilpotenz
- Kegelschnitte
- Ausgleichsrechnung p. 270
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Übungen (Vorgriff)
- http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_15.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_15.pdf
- Selbststudium: Anwendungen
- Kegelschnitte und quadratische Formen
- Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
- Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
- Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
- Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit
Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
- Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
- Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
- Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen:
Konstruktion der Matrizen
- Ausgleichsrechnung p. 270
- Beispiele zum Problem der Unterbestimmten
Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
|
|
Wo 15 |
- Übungen (Vorgriff)
- Testnachbearbeitung Test
|
|
Wo 16 |
- Testbesprechung - Abschluss
|
|
|
- Ausschreibung Nachprüfung zur Modulprüfung siehe Ausschreibung
Internetseite der Schule
|
|
S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Beginn Unterricht:
- Einführung, Vorstellung
- Learningmanagement, Organisation, Rahmen,
Kommunikation via Internet
- 1. Koordinaten
- 2.
Stoff
- 3.
Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
- 4.
Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
- 5.
Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement (
Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
- 6.
Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.
Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im
Hirn und der Repetition
- 7.
Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8.
Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Zeitplanung
-
- Wozu Mathematik? Link
- Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
- Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine
Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten".
- Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
- Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von
allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist
Zahl.
- Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre
Kulturleistung
- Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
- Beispielhafte Beweise
- Wieso beweisen? (Zahlen,
geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
- Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im
Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
- Modell und Wirklichkeit: Modell in
der Sprache der Mathematik - Realität
- ==> Naturwissenschaft - Mathematik
- Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom
Baum - Galilei, Newton
- "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die
Idee der Gleichbewegung der Atome
- Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter -
u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden -
mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360
Grad contra rad. Wieso 360?
- Diverses
- Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist
ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole
polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von
Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
- Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
- Praktische Einführung in MATLAB
|
Downloads, Studium, Literatur, Übungen
|
Wo 2 |
- Skalare,
- Vektoren
- Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge,
Betrag, Norm in Koordinatensystem
- Addition
- Multiplikation
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff
- Selbststudium: Lineare Abhängigkeit: Kollinear,
komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig, Linearkombination
- Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Selbststudium: Eigenschaften einer Basis
- Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem
Programm siehe Übungen)
- Download Skripte MATLAB nach mündlicher Anleitung im Labor
|
Selbststudium: Vollständige Liste siehe unter den Übungen!
|
Wo 3 |
- Vektoren
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff, Gesetze
- Linearkombinationen
- Bemerkungen zu weiteren mathematischen Problemen
- Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig
- Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Selbststudium: Eigenschaften einer Basis
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 4 |
- Weiter mit Vektoren
- Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Eigenschaften einer Basis
- Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen,
Spaltenvektoren, Transponierte
- Gleichheit von Vektoren
- Einheitsvektoren
- In Polarkoordinaten
- Rechengesetze in Koordinatensystemen
- Basiswechsel, Länge
- Beispiele
- Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Sätze der Geometrie
- Definition
- Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 5 |
- Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Sätze der Geometrie
- Definition
- Gesetze, Regeln, Anwendungen
- Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz,
Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
- Anwendungen auf lineare Gebilde
- Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
|
- Selbststudium:
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
|
Wo 6 |
- Weiter mit Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
- Repetition Geradengleichungen und Eigenschaften
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
- Flächenprodukt
- Motivation, Definition
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt
- Rep.
Flächenprodukt
- Motivation,
Definition
- Regeln
- Anwendungen,
z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt
und zwei Richtungsvektoren
- Selbststudium:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Beispiele,
Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Spatprodukt
- Motivation, Definition, Berechnung
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
-
Uebungen
- Anwendungen: Abstand eines Punktes on einer
Geraden oder Ebenen, Hess'sche Normalform
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Selbststudium:
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften
im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beispiele dazu,
Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Repetition Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Angaben zum Selbststudium:
- Weitere Begriffe und Eigenschaften
im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des
Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge
der Lösungen der Einzelgleichungen
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene
Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen.
Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre
inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 9 |
- Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Matrizen, Matrixschreibweise
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele
- Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang (Rang der Matrix)
- Selbststudium: Testvorbereitung
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
- Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
- Testvorbereitung, Fragestunde
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 11 |
- Test (gemachter
Test)
- Bemerkungen zum Test
- Bemerkung zum Rückwärtseinsetzverfahren
- Zeilenrang gleich Spaltenrang bei einer Matrix
- Spezielle Matrizen:
- Nullmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix
- Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln
- Beginn: Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten
- Selbststudium: Stoff
unter diesen Links (pdf)
(txt)
|
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Wo 12 |
- Test retour
- Determinantenberechnung
- Bedeutung der Determinante und Regeln
- Entwicklungssatz
- Anwendung Entwicklungssatz:
- Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
- Diagonalisierungsverfahren: Determinantenregeln anwenden,
analog Gauss-Algorithmus bei Gleichungssyst.
- Determinante einer Dreiecksmatrix = Produkt der
Diagonalelemente
- Determinantenberechnung durch Transformation auf
Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
- Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
- Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
- Matrixmultiplikation und Gleichungssysteme, Produktmatrix
- Selbststudium:
- (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv.
Jacobi-Verf., Rechenaufwand
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 13 |
- Beispiele zur Matrixmultiplikation
- Gesetze zur Matrixmultiplikation
- Assoziativität: (A.B).C=A.(B.C) (beweisbar mit
Abbildungen)
- Einheitselement E(n)
- Nullelement N(m,n)
- Kommutativität gilt nicht allgemein: Gegenbeispiele
- Existenez und Berechnung der Inversen Matrix:
- Lösen von n Gleichungssystemen simultan (Gauss-Jordan)
- Lösung nach Cramer möglich, wenn Det(A) im Nenner
nicht null
- Bilder der Orthonormalbasis: Spaltenvektoren der Matrix
- Determinantenmultiplikationssatz
- Was passiert mit einem Spat bei der Weiterabbildung
- Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von
Gleichungen und der Berechnung der Inversen
- Übungen, Aufgaben im Labor
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
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Wo 14 |
- Erweiterung von R zu C, komplexe Ebene
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren, geometrische
Addition von komplexen Zahlen
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Beispiele
- Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von
komplexen Zahlen
- Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
- Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation,
Schreibeweisen von i
- Gesetze der Multiplikation
- Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
- Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten, Argument
und Betrag einer Zahl
- Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
- Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und
Konsequenzen
- Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
- Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==>
Achteck)
- Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
- Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
- Lage der Inversen
- Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
- Distributivgesetz
- Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Beispiele
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 15 |
- Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Beispiele
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
- Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))n
(Fourier)
- Hauptsatz der Algebra
- Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
- Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
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Wo 16 |
- Weiter mit Partialbruchzerlegung
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen
- Selbststudium: Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Ausblicke
- Beispiele
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S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Repetitionen:
- Beispiele zu
- Semestereinführung, Repetition
- Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
- Umrechnungen zwischen Parametergleichung und
Koordinatengleichungen
- Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt
- Parametergleichung und Abstandsberechnungen
- Orthogonalzerlegung und Fußpunkt
- Beispiele (Kurzrepetition) zu
- Flächeninhalt und Vektorprodukt
- Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und
Normalenvektor
- Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche
Normalform!)
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche
Normalform!)
- Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen
Punkt
- Volumen mit Spatprodukt
- Beispiele
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3
Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge
dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine
Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0.
Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen
Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen
entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment
"Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie
man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt
wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und
nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie)
alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung
oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem
System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem
Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit
also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun,
wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also
nichts mehr gespannt werden kann?
- Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung: Stichwort "Vorspannung".
- Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
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Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
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Wo 2 |
- Repetitionen:
- Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
- Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
- Die Kegelschnitte
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
- Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung
im Dreieck
- Die Winkel am Apolloniuskreis
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Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
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Wo 3 |
- Repetitionen (Selbststudium):
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Beispiele
- Vektorkurven, Tangentialvektor,
Normalenvektor
- Stoff Repetition:
- Matrizen
- Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei
Abbildungen
- Eigenschaften
- Bedeutung der Spaltenvektoren bei der
Abbildung
- Abbildungseigenschaften einer Matrix
- Stoff neu:
- Eigenwertprobleme: Eigenwerte und
Eigenvektoren
- Beispiele
- Beispiel von Matrizen ohne reelle
Eigenwerte
- Eigenvektoren als Basis
- Charakteristisches Polynom
- Berechnungen
- Demnächst behandelter Stoff:
- Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder
weniger Eigenwerten als die Ordnung
- Matrizen mit weniger Eigenvektoren als
die Ordnung
- Die Triviallösung 0
- Das Problem bei nicht regulägen
Matrizen
- Beispiel, Berechnungen
- Approximation von Eigenwerten: Bei der
Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung =
Rang + Dimension" gestört.
- Beispiel
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Selbststudium
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Beispiele
- Vektorkurven, Tangentialvektor,
Normalenvektor
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Wo 4 |
- Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren
- Charakteristisches Polynom
- Berechnungen, Beispiele
- Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von
Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch
- Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders,
Beispiele von Operatoren, Schwingungen...
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Nochmals Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
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Wo 5 |
- Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren
- Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp.
Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix)
- Matrixkomposition
- Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren
- Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die
Eigenvektoren
- Beispiel mit Eigenwert 0
- Diverse Beispiele, Übungen
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 6 |
- Repetition Eigenwerte, Eigenvektoren, Matrixkomposition
- Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
- Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade
- Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung
der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
- Beispiele
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 7 |
- Repetition einfache Abstandsberechnung:
- Abstand eines Punktes zu einer Gerade im Raum mit Hilfe der
Normalenebene zur Geraden durch den Punkt.
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen im Raum mit Hilfe der
Normalengeraden zur Ebene (aus der Koordinatengleichung) durch
den Punkt.
- Herleitung der Matrixdekomposition (Diagonalisierung) im Falle von
verschiedenen Eigenwerten ungleich 0.
- Das Produkt der Eigenwerte als Determinante der Matrix.
- Beispiele
- Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 8 |
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Selbststudium: Prüfungsvorbereitung
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Wo 9 |
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 10 |
- Besprechung Test
- Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren:
- Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens
ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im
charakteristischen Polynom null
- Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche
Eigenvektoren wie die Matrix
- Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die
Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert
(Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren).
- Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und
die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren.
- Beispiele
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Testverbesserung
Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 11 |
- Ähnliche Matrizen
- Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im
charakteristischen Polynom
- Beispiele, Matrixkomposition
- Ausarbeitung: Zusammenhang Gaussalgorithmus - Rangsatz
- Was ist Rang, Ordnung, Dimension...
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 12 |
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
- Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
- Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
- Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene
Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
- Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) =
Dimension(Kern)
+ Dimension(Image)
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele
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Selbststudium:
Siehe Übungen
Stichworte zur Testvorbereitung:
- Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine
Annäherung?
- Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten
Gleichungssystem?
- Drehung um eine Achse im Raum, Matrix?
- Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und
Eigenvektoren
- Begriffe der linearen Algebra
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Wo 13 |
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Selbststudium und Arbeit:
- Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
-
Siehe Übungen
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Wo 14 |
- Besprechung Test
- Weitere Übungen (weitere Qualifikation):
- Vorträge zu Rädergelenkgestängen, Programmierung und
Resultate
- Bisherige Arbeiten zu Rädergelenkgestängen siehe Link
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
Wo 15 |
- Spezialanlass: Pfingstmontag
-
Selbststudium:
Präsentationsvorbereitung, Abgabe der Unterlagen (Programme)
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
Wo 16 |
- Ausstehende Präsentationen
- Abschluss:
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Vorgesehen:
- Downloads:
- Studium, Literatur:
- Übungen
|
- Selbststudium siehe links
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Wo 2 |
|
- Selbststudium siehe links
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Wo 3 |
|
- Selbststudium siehe links
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Wo 4 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Sätze der Geometrie
- Definition
- Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
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- Selbststudium siehe links
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Wo 5 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte)
- Selbststudium:
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 6 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Beispiele,
Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
- Selbststudium siehe links
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Wo 7 |
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften im
Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des Kegels
- Beispiele dazu,
Übungen
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
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- Selbststudium siehe links
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Wo 8 |
- Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen (alter Test)
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- Selbststudium siehe links
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Wo 9 |
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
- Selbststudium: Testvorbereitung ==> Studium des bisherigen Stoffs
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen (alter Test)
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- Selbststudium siehe links
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Wo 10 |
|
- Selbststudium siehe links
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Wo 11 |
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Wo 12 |
- Selbststudium:
- (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv.
Jacobi-Verf., Rechenaufwand
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
- Selbststudium siehe links
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Wo 13 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
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Wo 14 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 15 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 16 |
|
- Selbststudium: Siehe links
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Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
Wo 1 |
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Selbststudium siehe unter Stoff
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Wo 2 |
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Selbststudium siehe unter Stoff
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Wo 3 |
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Wo 4 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
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Nochmals Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
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Wo 5 |
- Übungen: Repetition (beachte Update: Zusatzaufgaben)
- Übungen: Neu
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 6 |
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 7 |
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 8 |
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 9 |
- Testnachbereitung: Test
- Übungen
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 10 |
-
Testverbesserung zur Abgabe vorbereiten
- Übungen
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 11 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 12 |
- Übungen
- Stichworte zur Testvorbereitung:
- Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine
Annäherung?
- Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten
Gleichungssystem?
- Drehung um eine Achse im Raum, Matrix?
- Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und
Eigenvektoren
- Begriffe der linearen Algebra
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Selbststudium:
Siehe Übungen
Testvorbereitung siehe links
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Wo 13 |
- Übungen
- Arbeit
- Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
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Selbststudium und Arbeit:
- Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
-
Siehe Übungen
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Wo 14 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 15 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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Wo 16 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
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