| S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Einführung
- Vorstellung
- Learningmanagement
- Koordinaten
- Lerntechnik: Vergessenskurve, Lernplateau,
- Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.
Faktor =0 ==> Produkt = 0.
- Wozu Mathematik?
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine materiellen Realitäten.
- Modell (in der Sprache der Mathematik) - Realität ==>
Naturwissenschaft - Mathematik
- Beginn mit Funktion: Bei uns meist reelle Funktionen von R
in R (Urbilder und Bilder sind reelle Zahlen. Reelle
Zahlen - was ist das?)
- Funktionen als Abbildungen: Menge von geordneten Paaren
(Relation), links (Urbildmenge, Definitionsbereich) total,
rechts Wertemenge oder Bildbereich eindeutig (keine gespreizten
Pfeile) - Urbildmenge und Wertemenge müssen nicht geordnet sein
und können beliebige "mathematische" Objekte
enthalten.
- Aufbau der Zahlen........
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| Wo 2 |
- Repetition Funktion: Bei uns meist reelle Funktionen von R
in R (Urbilder und Bilder sind reelle Zahlen. Reelle
Zahlen - was ist das?)
- Aufbau der Zahlen: P, N, N0, Z, Q, R, C,...
(linke Menge in rechter Menge enthalten....)
- Zahlen (N, Z,...) müssen zu größerer Zahlenmenge
(Obermenge) erweitert werden, wenn eine Gleichung nicht lösbar
ist...
- Gekürzte rationale Zahlen sind immer periodische Dezimalbrüche
und umgekehrt.
- Verfahren, wie periodische Dezimalbrüche in gemeine Brüche
verwandelt werden... (multiplizieren mit Zehnerpotenz, subtrahieren,
dividieren...)
- Nichtrationale Zahlen: irrational, algebraisch, falls Lösung
einer algebraischen Gleichung, sonst transzendent wie e oder pi.
- Wurzel aus 2: Nicht rational (Demonstration!) ==> "Loch in
der dichten Menge Q". Wenn man alle Löcher stopft, erhält
man die reellen Zahlen. (Diese sind durch die Menge aller Dezimalbrüche
gegeben, bis auf Doppeldeutigkeiten wie 1.0000...= 0.99999... )
- R füllt die Zahlengerade total aus: R ist jetzt lückenlos
und dicht.
- In R ist z.B. die Gleichung x2 = -1 nicht lösbar. Um
die Gleichung lösen zu können, muss man R zu C
(komplexe Zahlen) erweitern. Da R die Zahlengerade ausfüllt, hat
darauf aber nichts mehr Platz. Daher muss man in die Ebene
ausweichen. Komplexe Zahlen addiert man wie ebene Vektoren. Das
Problem ist die Multiplikation.
- R wird nun unser Werkplatz für die reellen Funktionen
sein. Man muss also R gut kennen.
- Nochmals Funktionenbegriff, links total, rechts eindeutig
- Definitionsbereich, Wertebereich, Problematik: möglicher
bekannter und tatsächlicher unbekannter Wertebereich
- Beispiel {sin(n) | n aus N}
- Geordnete Paare, Paarmenge, Graph
- Reelle Funktion, Standardkoordinatensystem, Aufteilung der
Funktionen
- Intervalle, offen, abgeschlossen,...
- Wann sind zwei Funktionen gleich?
- Zoo der Funktionen:
- Gauss-Klammer
- Signum
- Betrag
- Folgen
- Sägezahn
- Konstante, lineare Funktion (Nullstelle, y-Abschnitt,
Verschiebung,...), wieso Gerade (Geometrie: Ähnliche
Dreiecke...)
- Quadratische Funktion, Nullstellen der quadr. Gleichung
(quadratisch ergänzen)
- Übungen
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- Selbststudium der Intervalle und Standardfunktionen (Zoo
der Funktionen).
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| Wo 3 |
- Zoo der Funktionen
- Potenzfunktionen, pos. und neg. Exponenten (Parabeln,
Hyperbeln, Äste, Pol)
- Beschränkte Funktionen
- Asymptote
- Periodische Funktionen
- Punktweise definierte Funktionen
- Diskrete Funktionen
- Polar Plot (Darstellung in Polarkoordinaten)
- Zahlenfolgen, zugehörige Begriffe
-
Selbststudium Stoff:
- Verkettung von Funktionen
- Eigenschaften: Monoton, streng monoton, wachsend, fallend,
Zusammenhang mit Inverser Funktion (Gerade, ungerade
- Spezielle Funktionen
- Ganz rational, Polynome
- Horner
- Hauptsatz der Algebra: Über die Anzahl der Nullstellen,
Linearfaktoren
- Gebrochen rational, Anzahl Pole
- Umkehrabbildung (z.B. bei f(x)=x2, x positiv),
trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen (was ist secans,
cosecans?)
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- Selbststudium: Siehe nebenan resp. unter Übungen
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| Wo 4 |
- Zoo der Funktionen
- Stückweise definierte Funktionen
- Verkettung von Funktionen
- Nochmals ausführlicher Verkettung
- Eigenschaften
- Monoton, streng monoton, wachsend, fallend, Zusammenhang mit
Inverser
- Umkehrabbildung
- Beispiele
- Gerade, ungerade
- Funktionen
- Ganz rational, Polynome
- Horner
- Hauptsatz der Algebra: Über die Anzahl der Nullstellen,
Linearfaktoren
- Gebrochen rational, Anzahl Pole
- Umkehrfunktion
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- Selbststudium: Transzendente Funktionen:
- Trigonometrische (auch Secans, Cosecans!)
- Arcus-Funktionen (Inverse zu trig. Fkt.)
- Polarkoordinaten,
- Berechnung von e
- Exponentialfunktion Sinus und Cosinus hyperbolicus
- Logarithmusfunktion
- Areafunktionen
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| Wo 5 |
- Transzendente Funktionen:
- Trigonometrische (Secans, Cosecans!)
- Goniometrie
- Arcus
- Polarkoordinaten, Beispiele
- Übungen
- Berechnung von e
- Exponentialfunktion
- Logarithmusfunktion
- Hyperbolische Funktionen: Sinus und Cosinus hyperbolicus,
u.s.w......
- Areafunktionen
- Darstellung mit Ln
- Übungen
- Nochmals Zahlen |P| = |N| = |Z| = |Q| <
|R| = |C| <... (ein wenig Beweise)
- Folgen als Funktionen auf N
- Nullfolgen, 1/n und Höhensatz
- Graphen, Umkehrgraphen, Problem des Verhaltens für große n
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| Wo 6 |
- Graphen, Umkehrgraphen, Problem des Verhaltens für große n
- konvexe Schlingen, Darstellbarkeit
- Konvergenz, Grenzwert, Divergenz
- Hinweis auf Weierstraß und Cauchy
- Häufungspunkte, Teilfolgen
- Jede Folge hat mindestens einen Häufungspunkt
- Majorante, Minorante
- Arithmetische und geometrische Folge, Bedeutung
- Konvergenzbedingungen der geometrischen Folge
- Summenfolgen: Arithmetische und geometrische Folgen
- Beispiele, Bemerkung zu Polynomfolgen
- Folgen von Beträgen
- Monoton und beschränkt bedeutet konvergent
- Arithmetische Operationen mit konvergenten Folgen
- Übungen
- Regeln über Grenzwerte von Folgen:
- Summe oder Differenz
- Produkt
- Quotient
- Potenz
- Folge im Exponent
- trigonometrische Funktionen auf Folgen
- Varianten der Berechnung von e
- Übungsbeispiele
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| Wo 7 |
- Links- und rechtsseitiger Grenzwert
- Problem stetiger Funktionen (Kurven) in der Makrophysik
- keine Sprünge
- keine Lücken
- keine Pole
- Abbildung von Folgen
- Grenzwert bei Funktionen: Definition mit Folgen
- Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen wie bei Folgen
- Definition Stetigkeit
- keine Sprünge, Definitionslücken, Pole...
- Links- und rechtsseitige Stetigkeit
- Beispiele
- natürliche Fortsetzung von Funktionen in Definitionslücken
- Stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind
beschränkt
- Zwischenwerteigenschaft
- Arithmetische Eigenschaften stetiger Funktionen
- Polynome stetig
- Rationale Funktionen stetig bis auf Pole
- Stetigkeit bei trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktion,
Umkehrfunktion (Logarithmus)
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| Wo 8 |
- Differentialrechnung:
- Tangente als Schmiegegerade, Gewinnung durch Grenzprozess:
Sehne wird zu Tangente.
- Newton: f ', Problem der Geschwindigkeit, Beschleunigung
- Leibniz: df/dx, Prioritätsstreit, Bernoulli
- Weitere Notationen (Physik u.s.w.)
- Sehnensteigung als Differenzenquotient (tan(alpha))
- Tangentensteigung (Ableitung) als Grenzwert
(Differentialquotient)
- Ableitungsfunktion
- Ableitung von f(x) =c, f(x) = ax+b, f(x) = x2
- Ableitung von xn
- Homogenität (c f(x))' = c f '(x)
- Additivität (f(x)+g(x)) ' = f '(x)+g '(x)
- n-te Ableitung von xn
- Ableitung von Polynomen
- Beispiele
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| Wo 9 |
- Test
- Exkurs: |P| = |N| = |Z| = |Q| < |[0,1)| =
|R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
- Kurze Repetition
- n-te Ableitung von xn
- Ableitung von sin(x)
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| Wo 10 |
- Produktenregel
- Quotientenregel
- Anwendungen: Ableitung von cos(x), tan(x), Wurzel aus x, 1/xn
u.s.w.
- Kettenregel
- Anwendungen: Beispiele
- Anwendungen: Beispiele, Ableitung von xn
- Beispiele
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| Wo 11 |
- Ableitung
der Inversen Funktion
- Ableitung
des Logarithmus, Einordnung
- Ableitung
der Inversen
- Ableitung
von ex
- Ableitung
von arcsin(x) arccos(x), arctan(x)
- Ableitung
von cosh(x), sinh(x) u.s.w.
- Beispiele
- Mittelwertsatz
- Regel von Bernoulli (de L'Hospital)
- Beispiele, z.B. lim x->0 xx = 00 =
1 (Übungen)
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| Wo 12 |
- Extremwerte: Minimum, Maximum contra Wendepunkte (speziell
Terrassenpunkte)
- Lokale, globale und Randextrema
- Notwendige und hinreichende Bedingungen:
- Zusammenhänge zwischen nullter, erster und zweiter Ableitung bei
Extremwerten
- Begriffe konvex und konkav von oben contra von unten und Wendepunkte
- Beispiele (Übungen) zu Extremwertberechnungen: Länge einer
Leiter, die in einen Schlauchturm hinein gebracht werden soll.
Diskussion eines Funktionsgraphen
- Extremalprobleme und Optimierungsprobleme (Beispiel: Was passiert
bei der Veränderung der Körpergröße mit dem Volumen bezüglich
der Oberfläche resp. des Querschnitts der tragenden Teile)
- Angewandte Übungen: Beispiele aus dem Gebiet der Diskussion von
Funktionsgraphen
- Nullstellenberechnung (bei transzendenten Funktionen)
- Newton-Verfahren: Schnelle Konvergenz, aber auch Tücken
- Graphische Methode
- Bisektionsmethode
-
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| Wo 13 |
- Weiter Nullstellenberechnung (bei transzendenten Funktionen)
- Regula falsi
- Fixpunktmethode
- Beispiele
- Übungen (Testvorbereitung)
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| Wo 14 |
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| Wo 15 |
- Approximationen von Funktionen, Potenzreihen, Taylorreihen
- Das Konzept der Approximation
- Das Restglied
- Beispiele, Demonstration der Genauigkeit
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| Wo 16 |
- Approximationen von Funktionen, Potenzreihen, Taylorreihen
- Vergleich mit Majoranten (geometrische Reihe)
- Diverse Reihen: Geometrische, harmonische, alternierende Reihe
- Beispiele
- Konvergenzintervall, Konvergenzradius
- Rechnen mit Taylorreihen: Addition, Subtraktion,
Differentiation etc.
- Beispiele
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Weiter: 2. Semester |
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| Wo 1 |
- Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen,
Konvergenz (Beispiel monoton und stetig..., stückweise
stetig, endliche Oszillation, negative Funktionen...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Stammfunktion
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung: Rückführung der
Integration auf die Berechnung der Stammfunktion
- Linearität
- Beispiele
- Beispiel Teilung des Rechtecks bei Potenzfunktionen
- Beispiele uneigentliche Integrale, Flächen mit endlichen
Inhalten und unendlich langen monotonen Begrenzungen
- Beispiele, bei denen keine bekannte Stammfunktion berechnet
werden kann: Integration der Potenzreihe (z.B. f(x) =
exp(x2))
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| Wo 2 |
- Ungleichungen mit Integralen, Schwarz'sche Ungleichung
- Prinzip von Cavalieri, Beispiel
- Integrationstechnik: Partielle Integration
- Substitutionsregel als Umkehrung der Kettenregel der
Differentialrechnung
- Integration von f ' / f
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| Wo 3 |
- Integration von gebrochen rationalen Funktionen
- Partialbruchzerlegung
- Beispiele, Übung
- Integration in Polarkoordinaten
- Länge einer Kurve (2D, 3D, u.s.w.)
- Linienintegrale
- Funktionen
- Vektorfunktionen
- Volumen eines Rotationskörpers
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele, Übungen
- Stoff um das Thema "Momente", siehe Wikipedia
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| Wo 4 |
- Wikipedia:
Mathematikthemen (Momente zu diversen Graden)
- Bedeutung
des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung wie die Masse bei der gewöhnlichen
Bewegung
- Berechnung
des Trägheitsmoments
- Trägheitsmomente
und Flächenmomente (Selbststudium)
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode, Simpson,
Polynommethode, Verwendung der Potenzreihe
- Funktionen mit mehreren Variablen
- Beispiele
- Definitionsbereiche, Gebiete, Rand u.s.w.
- Stetigkeit
- Plots: 3D, Höhenlinienkarten
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| Wo 5 |
- Nochmals Stetigkeit: Regeln für die Zusammensetzung stetiger
Funktionen
- Eigenschaften stetiger Funktionen und Kriterien für die
Stetigkeit
- Partielle Ableitung, höhere partielle Ableitung, Symbolik
- Gradient, Dimension des Urbildraumes
- Richtungsableitung
- Berechnung der Richtungsableitung aus dem Gradienten und dem
Richtungseinheitsvektor
- Bedeutung des Gradienten: Richtung der stärksten Höhenzunahme,
senkrecht auf dem Tangentialvektor zur Höhenlinie
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| Wo 6 |
- Tangentialebene, Beispiel
- Regeln für Differentiale, Kettenregel
- Verpflanzung von Operatoren
- Extrema
- Extrema mit Nebenbedingungen, Lagrange
- Beispiele
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| Wo 7 |
- Beispiele und Anwendungen (Lagrange u.s.w.)
- Approximation von Nullstellen bei mehreren Variablen
- Integration von Funktionen mit mehreren Veränderlichen und von
Integralen: Doppelintegrale
- Doppelintegrale und Volumenberechnungen über beliebigen Gebieten.
- Prüfungsvorbereitung: Prüpfungsthemen
- Ausgleichsgerade (Regressionsgerade)
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| Wo 8 |
- Test
- Ableitung von Integralen nach einer anderen Variablen bei
konstanten und variablen Grenzen
- Beispiele
- Mehrfachintegrale; Riemannsche Summen und Probleme
(Gebietszerlegung, Beschaffenheit der Ränder Rand)
- Stetige Funktionen über abgeschlossenen Gebieten mit
vernünftigem Rand sind integrierbar
- Gebietsintegrale, Volumenintegrale, Voumenberechnung
- Regeln für die Integrierbarkeit
- Stundenausfall wegen Auffahrt
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Auffahrtswoche |
| Wo 9 |
- Testbesprechung
- Integrationsregeln bei mehreren Variablen
- Integration mit mehreren Variablen: Vertauschung der
Integrationsreihenfolge
- Beispiele
- Massenträgheitsmoment, Massenschwerpunkte
- Anleitung zum Selbststudium (siehe Übungen)
- Beispiele: Diverse Integrale, Volumenberechnung,
Integrationstricks
- Doppelintegrale in Polarkoordinaten
- Beispiele
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| Wo 10 |
- Oberflächenintegrale (Inhalte krummer Flächen)
- Kartesisch
- Für beliebige KS
- Beispiele
- Integrale über Funktionen auf Oberflächen (z.B. Fluss)
- Mehrfachintegrale
- Kartesisch
- In Kugelkoordinaten
- In Zylinderkoordinaten
- Für beliebige KS
- Die Funktionaldeterminante
- Beispiele
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Pfingstwoche
Selbststudium:
- Krümmung von Kurven (Skript Analysis, Skript Math. II))
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| Wo 11 |
- Differentialgleichungen
- Problematik und Beispiele, Klassifikation, Ordnung
- Gewöhnliche D'Gl., partielle D'Gl.
- Problemtypen (AWP, RWP)
- AWP: Gewöhnliche D'Gl. höherer Ordnung und Systeme von D'Gl.
1. Ordnung
- Integralkurven, Linienelemente, Richtungsfeld, Isoklinen
- Problemkreise Existenz, Eindeutigkeit, Lösungsmethode,
Auffinden von analytischen kontra numerischen Lösungen,
Stabilität von Lösungen, Klassifikation und Methoden
- Existenzsatz von Peano, Eindeutigkeitssatz, Lipschitzbedingung,
Eindeutigkeitssatz für Gebiete, y'=f(x,y) mit diff'barem f,
u.s.w.
- Reguläre und singuläre Lösungen
- Iterationsverfahren von Picard für ein AWP
- Separationsverfahren
- Beinahe separable D'Gl.
- Substitution
- Exakte D'Gl.
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| Wo 12 |
- Differentialgleichungen
- Exakte D'Gl.: Allgemeiner Fall, Beispiel
- Exakte D'Gl.: Spezialfälle, integrierender Faktor (eulerscher
Multiplikator)
- Numerische Lösungesidee: Eulermethode, Runge-Kutta
- Theorie der linearen Differentialgleichungen: Homogene und
inhomogene Gleichung
- Aufbau des "Lösungsraumes" analog zur Theorie der
linearen Gleichungssysteme
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| Wo 13 |
- Differentialgleichungen
- Rep. Theorie der linearen Differentialgleichungen: Homogene und
inhomogene Gleichung
- Linearen Differentialgleichungen mit konstanten reellen
Koeffizienten, homogener Fall:
- Charakteristisches Polynom
- Basislössungen: 3 Fälle.
- 1) Alle Nullstellen des char. Pol. verschieden und reell:
Exponentialfunktionen
- 2) Komplexe Nullstellen: Konjugiert komplexe Lösungen,
führen auf sin und cos
- 3) Zusammenfallende Nullstellen: xk mal
Exponentialfunktion
- Inhomogener Fall: Einfachste partikuläre Lösung suchen.
(Hier wären die Laplace-Transformationen hilfreich)
- Anwendungen: Einbezug von Anfangswert- und Randbedingungen.
- Ausblick: Randwertproblem, Eigenwertproblem: Diskrete
Eigenwerte, Beispiel y'' + y = 0, y(0)=y(Pi)=0
- Weitere Beispiele
- Bemerkung zu Runge-Kutta (geeignet für Programmierung)
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| Wo 14 |
- Repetition und Ausbau: Speziell Linienintegrale (Selbststudium)
- Übungen
- Anwendungen
- Dynamische Phänomene, Schwingungsgleichungen u.s.w.
- Alte Prüfungsaufgaben
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Selbststudium:
- Methode der kleinsten Quadrate (Skript Analysis)
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| Wo 15 |
- Repetition und Ausbau: Speziell Linienintegrale
- Übungen
- Alte Prüfungsaufgaben
|
Selbststudium:
- Stabilität von Differentialgleichungen (Skript Math. II)
- Splines (Skript Analysis)
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| Wo 16 |
- Übungen
- Alte Prüfungsaufgaben
|
Selbststudium:
- Krümmung von Kurven (Skript Analysis, Skript Math. II))
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| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
|
- Eintrag ins Porte-Feuille:
- Notizen
- Zusammenfassungen zu den Themen: Begriffe, Zusammenhänge,
Anwendungen, Stundennachweis (Handschriften)
- Zusätzlich ev. Computerausarbeitungen
- Handlösungen
- Projekte
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| Wo 2 |
|
- Selbststudium der Intervalle und Standardfunktionen (Zoo
der Funktionen).
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| Wo 3 |
Selbststudium Stoff:
- Verkettung von Funktionen
- Eigenschaften: Monoton, streng monoton, wachsend, fallend,
Zusammenhang mit Inverser Funktion (Gerade, ungerade
- Spezielle Funktionen
- Ganz rational, Polynome
- Horner
- Hauptsatz der Algebra: Über die Anzahl der Nullstellen,
Linearfaktoren
- Gebrochen rational, Anzahl Pole
- Umkehrabbildung (z.B. bei f(x)=x2, x positiv),
trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen (was ist secans,
cosecans?)
-
- Übungen:
-
- Kurzlösungen:
-
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| Wo 4 |
- Selbststudium: Transzendente Funktionen:
- Trigonometrische (auch Secans, Cosecans!)
- Arcus-Funktionen (Inverse zu trig. Fkt.)
- Polarkoordinaten,
- Berechnung von e
- Exponentialfunktion Sinus und Cosinus hyperbolicus
- Logarithmusfunktion
- Areafunktionen
- Übungen:
- Kurzlösungen:
|
- Selbststudium speziell: Was ist secans und cosecans?
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| Wo 5 |
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| Wo 6 |
|
Beispiel eines Tests:
Test,
direkt Test
Lösungen,
direkt: Lösungen
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| Wo 7 |
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| Wo 8 |
- Prüfungsvorbereitung: Siehe oben
- Übungen
- Kurzlösungen
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| Wo 9 |
- Übungen: Repetition + Aufarbeitung nach eigenem Plan
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| Wo 10 |
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| Wo 11 |
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| Wo 12 |
- Übungen zur Testvorbereitung: Diesmal eine Serie ehemaliger
Tests (Ohne die numerischen Aufgaben , d.h. Newton-Algorithmus,
Nullstellenberechnung, Fixpunktmethode)
- Die Lösungen werden vorerst auf dieser Seite nicht
aufgeschaltet - denn die Aufgaben könnten in sehr ähnlicher Form
im nächsten Test wieder vorkommen...
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Testvorbereitung
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| Wo 13 |
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| Wo 14 |
- Nachbereitung des Tests Link
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| Wo 15 |
- Übungen: Löse soweit wie möglich
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| Wo 16 |
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Weiter: 2. Semester |
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| Wo 1 |
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| Wo 2 |
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| Wo 3 |
|
|
| Wo 4 |
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| Wo 5 |
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| Wo 6 |
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| Wo 7 |
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|
| Wo 8 |
|
Test
Lösungen
.nb
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| Wo 9 |
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Selbststudium siehe links |
| Wo 10 |
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| Wo 11 |
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| Wo 12 |
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| Wo 13 |
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| Wo 14 |
- Übungen:
- Selbststudium:
- Methode der kleinsten Quadrate (Skript Analysis)
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| Wo 15 |
- Übungen:
- Selbststudium:
- Stabilität von Differentialgleichungen (Skript Math. II)
- Splines (Skript Analysis)
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| Wo 16 |
- Übungen:
- Selbststudium:
- Krümmung von Kurven (Skript Analysis, Skript Math. II))
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